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Gründe:

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Nachdem Antragsteller und Antragsgegnerin das Verfahren übereinstimmend in der Hauptsache für erledigt erklärt haben, ist es entsprechend § 92 Abs. 3 Satz 1 VwGO einzustellen. Zur Klarstellung ist der angefochtene Beschluss des Verwaltungsgerichts für wirkungslos zu erklären (§ 173 Satz 1 VwGO i. V. m. § 269 Abs. 3 Satz 1 ZPO).

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Die Entscheidung über die Kosten des nach § 188 Satz 2 Halbsatz 1 VwGO gerichtskostenfreien Verfahrens beruht auf § 161 Abs. 2 Satz 1 VwGO. Danach hat das Gericht bei Erledigung der Hauptsache nach billigem Ermessen unter Berücksichtigung des bisherigen Sach- und Streitstandes über die Kosten des Verfahrens zu entscheiden. Es ist ermessensgerecht, den Antragsteller mit den Kosten zu belasten, da er voraussichtlich unterlegen gewesen wäre.

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Es spricht auch unter Berücksichtigung des Beschwerdevorbringens Überwiegendes dafür, dass die tatsächlichen Voraussetzungen eines Anordnungsanspruchs nicht glaubhaft gemacht waren (vgl. § 123 Abs. 3 VwGO, §§ 920 Abs. 2, 294 Abs. 1 ZPO); es bestand insbesondere kein hoher Grad der Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen des verfolgten Anspruchs.

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Soweit der Antragsteller im Beschwerdeverfahren gerügt hat, die angefochtene Entscheidung verstoße gegen den Grundsatz rechtlichen Gehörs (Art. 103 GG) - das Verwaltungsgericht habe trotz des bereits in der Antragsschrift gestellten Antrags vor seinem Beschluss keine Akteneinsicht gewährt und habe ferner zur Vorlage weiterer Unterlagen (Schulvertrag, Schulbericht) aufgefordert, deren Eingang aber nicht mehr abgewartet -, hat er sich bereits nicht mit der (Ergebnis-)Richtigkeit des angefochtenen Beschlusses und den diesen tragenden Erwägungen auseinander gesetzt.

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Aber auch seinen sonstigen Einwänden lässt sich nicht entnehmen, dass das Verwaltungsgericht den Anordnungsanspruch zu Unrecht verneint hätte. Zwar dürften an der diagnostizierten Autismusspektrumsstörung und damit dem Vorliegen einer seelischen Störung sowie einer Teilhabebeeinträchtigung keine Zweifel bestehen. Gleichwohl hätte aller Voraussicht nach aber insbesondere nicht festgestellt werden können, dass für eine bedarfsgerechte Beschulung des Antragstellers allein die Privatschule D.        als geeignet hätte angesehen werden müssen. Vielmehr war die Suche nach einer dem Hilfebedarf des Antragstellers gerecht werdenden (öffentlichen) Schule nicht fortgeführt worden, nachdem die Mutter des Antragstellers in einem Telefonat am 19. Februar 2021 erklärt hatte, sie wolle die Schulproblematik nunmehr alleine lösen. Dass insoweit tatsächlich kein Interesse mehr an einer - entsprechend der Vereinbarung im Hilfeplangespräch vom 9. Februar 2021 - gemeinsamen Suche nach einer geeigneten Schulform mit der Antragsgegnerin mehr bestanden haben dürfte, kommt nicht zuletzt in dem bereits unter dem 21./22. Februar 2021 geschlossenen Schulvertrag mit der Privatschule D.        zum Ausdruck. Ob seitens des Antragstellers - was dieser mit seinem Beschwerdevortrag bestreitet - insgesamt auf eine weitere Unterstützung durch das Jugendamt verzichtet worden ist, also insbesondere auch im Hinblick auf außerschulische (begleitende) Hilfemaßnahmen, dürfte für die hier im Streit stehende Suche nach einer geeigneten Schulform letztlich nicht von ausschlaggebender Bedeutung sein. Jedenfalls konnte angesichts der antragstellerseitig gewünschten und umgesetzten selbständigen Lösung der "Schulproblematik" - wie vom Verwaltungsgericht zutreffend angenommen -schon nicht näher ermittelt werden, ob eine adäquate, bedarfsgerechte Förderung im nach § 10 Abs. 1 SGB VIII vorrangigen öffentlichen Schulsystem nicht doch möglich (gewesen) wäre. Entgegen dem Beschwerdevorbringen stand die Aussichtslosigkeit einer bedarfsgerechten Beschulung im öffentlichen Schulsystem auch nicht bereits fest. Der Antragsteller war auf der GHS E.        - auch in größerer Lerngruppen - zunächst gut zurechtgekommen und äußerte - trotz der dortigen Vorkommnisse mit einem Lehrer - den Wunsch, diese Schule nach dem Scheitern des Realschulbesuchs erneut zu besuchen. Weshalb der Schulleiter der GHS E.        in seinem Schreiben vom 16. Februar 2021 eine Rückaufnahme als "nicht möglich" ansieht, wird nicht näher erläutert und ist im derzeitigen Verfahrensstand auch sonst nicht nachvollziehbar. Entsprechendes gilt hinsichtlich einer Beschulung an der GHS

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B.----straße . Es ist nicht nachvollziehbar, wieso sich die dortige Schulleitung allein angesichts begrenzter Erfahrung mit dem Krankheitsbild des Antragstellers dessen Beschulung von vornherein ausschließen will. Schließlich dürften ein AO-SF-Verfahren sowie der Besuch einer Förderschule (zumal mit kleineren Lerngruppen) aller Voraussicht nach jedenfalls nicht von vornherein als unzumutbar ausgeschlossen sein.

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Der Beschluss ist gemäß § 152 Abs. 1 VwGO unanfechtbar.