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Gründe:

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1. Die Antragstellerin hat ungeachtet der Frage, unter welchen Voraussetzungen Prozesskostenhilfe nach Abschluss der zugrundeliegenden kostenverursachenden Instanz bewilligt werden kann und ob sie zur Tragung der Prozesskosten weiterhin nicht in der Lage ist, keinen Anspruch auf Bewilligung von Prozesskostenhilfe für das Beschwerdeverfahren. Die Beschwerde hat aus den nachfolgend unter 2. a) ausgeführten Erwägungen keine hinreichende Aussicht auf Erfolg (vgl. § 166 Abs. 1 Satz 1 VwGO i. V. m. § 114 Abs. 1 Satz 1 ZPO).

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2. Das Verfahren ist in entsprechender Anwendung des § 92 Abs. 3 Satz 1 VwGO einzustellen, nachdem die Beteiligten es übereinstimmend in der Hauptsache für erledigt erklärt haben. Zur Klarstellung ist der angefochtene Beschluss des Verwaltungsgerichts für wirkungslos zu erklären (§ 173 Satz 1 VwGO i. V. m. § 269 Abs. 3 Satz 1 ZPO).

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Die Kostenentscheidung für das gemäß § 188 Satz 2 Halbsatz 1 VwGO gerichtskostenfreie Verfahren beruht auf § 161 Abs. 2 Satz 1 VwGO. Danach hat das Gericht bei Erledigung der Hauptsache nach billigem Ermessen unter Berücksichtigung des bisherigen Sach- und Streitstandes über die Kosten des Verfahrens zu entscheiden. Bei seiner auf dieser Grundlage vorgenommenen Ermessensentscheidung über die Kostenverteilung hat der Berichterstatter folgende Erwägungen berücksichtigt:

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a) Die Kosten des Beschwerdeverfahrens werden der Antragstellerin auferlegt, weil die von ihr zweitinstanzlich gestellten Anträge bis zum Zeitpunkt der Erledigung keine Aussicht auf Erfolg hatten.

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Die Antragsgegnerin hat mit Schriftsatz vom 24. Mai 2019 zugesichert, eine Entscheidung über die Inobhutnahme des Kindes der Antragstellerin erst nach Einbeziehung von Fachkräften des Krankenhauses und nach Überprüfung der Fähigkeit der Antragstellerin zur Versorgung des Säuglings anhand ihres Handelns im Krankenhaus vorzunehmen. Angesichts dessen, dass die Ernsthaftigkeit dieser Ankündigung keinen Zweifeln unterliegt, bestand für eine mit der Beschwerdeschrift vom 28. Mai 2019 allein noch beantragte Verpflichtung der Antragsgegnerin, entsprechend dieser Stellungnahme zu agieren, von vornherein kein Bedürfnis. Zudem war mit einer Inobhutnahme durch die Antragsgegnerin während des Aufenthalts im Krankenhaus nicht mehr zu rechnen, als klar war, dass die Antragstellerin in einem Krankenhaus außerhalb des Zuständigkeitsbereichs der Antragsgegnerin nach § 87 SGB VIII entbinden wird.

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Es kann dahinstehen, ob die Antragstellerin mit ihrem Antrag zu 2. in der Beschwerdeschrift vom 28. Mai 2019 bereits den Rechtsstreit im Übrigen in der Hauptsache für erledigt erklärt hat. Insoweit erscheint eine Kostentragung durch die Antragstellerin jedenfalls aufgrund der Erfolgsaussichten des ursprünglich über das Begehren im Beschwerdeverfahren hinausreichenden Unterlassungsantrags sachgerecht. Das Verwaltungsgericht ist insoweit davon ausgegangen, dass die Antragstellerin einen Anordnungsanspruch nicht glaubhaft gemacht habe. Es bestehe im Entscheidungszeitpunkt aufgrund der Gesamtproblematik der Antragstellerin durchaus die Möglichkeit, dass das Jugendamt eine Inobhutnahme des Kindes wegen einer dringenden Gefahr für das Kindeswohl rechtmäßig anordnen dürfe. Den diesbezüglichen Ausführungen des Verwaltungsgerichts (S. 3, vorletzter Absatz, bis S. 5) setzt das Beschwerdevorbringen nichts Durchgreifendes entgegen. Während die Antragstellerin in der Beschwerdeschrift vom 28. Mai 2019 insoweit lediglich darauf verweist, dass ihr der Inhalt der Verwaltungsvorgänge (deren Einsichtnahme sie erstinstanzlich nicht beantragt hat) und insbesondere einiger der vom Verwaltungsgericht herangezogenen Unterlagen unbekannt sei, setzt sie sich in ihrem weiteren innerhalb der Begründungsfrist eingereichten Schriftsatz in erster Linie mit dem Vorgehen des Jugendamts nach der Geburt des Kindes und mit den Erörterungen im familiengerichtlichen Verfahren auseinander und führt - unter Verkennung der prozessualen Ausgangslage - aus, warum sie vom Vorliegen eines (von ihr gar nicht angefochtenen) Verwaltungsakts und dessen Erledigung sowie einem Fortsetzungsfeststellungsinteresse i. S. v. § 113 Abs. 1 Satz 4 VwGO ausgehe.

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Soweit die Antragstellerin mit Schriftsatz vom 12. Juni 2019 neben ihrem - nach eigenen Angaben als Erledigungserklärung zu verstehenden - Antrag auf Feststellung der Erledigung des Verfahrens auch die Feststellung beantragt hat, dass eine von der Antragsgegnerin angekündigte Inobhutnahme des Kindes bis zur Entlassung aus dem Krankenhaus rechtswidrig gewesen wäre, besteht für ein solches Feststellungsbegehren in einem Verfahren des einstweiligen Rechtsschutzes kein Raum.

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b) In Bezug auf das erstinstanzliche Verfahren erscheint es hingegen ermessensgerecht, die Antragsgegnerin hinsichtlich der eigenen Aufwendungen an den Verfahrenskosten zu beteiligen. Bei der nach Erledigung der Hauptsache nur noch gebotenen summarischen Prüfung erscheint es als nicht gänzlich ausgeschlossen, dass die Antragstellerin jedenfalls für die Zeit bis zur Vornahme einer weiteren Überprüfung der Versorgungssituation des Kindes durch die Antragsgegnerin einen Anspruch auf Unterlassen einer vorläufigen Inobhutnahme ihres Kindes hinreichend glaubhaft gemacht hat. Bis zum Zugang des Schriftsatzes der Antragsgegnerin vom 24. Mai 2019, auf den sie vor der Beschlussfassung des Verwaltungsgerichts nicht mehr prozessual hätte reagieren können, durfte die Antragstellerin aufgrund der bisherigen Stellungnahmen und Äußerungen der Antragsgegnerin davon ausgehen, dass - jedenfalls bei einer seinerzeit noch im Raume stehenden Entbindung in einem Krankenhaus im Zuständigkeitsbereich der Antragsgegnerin - unmittelbar nach Geburt des Kindes bereits ohne weitere Ermittlungen des Jugendamts eine Inobhutnahme bevorstand. Eine solche Maßnahme hat die Antragsgegnerin auch mit Schreiben vom 17. Mai 2019 gegenüber dem B.           Krankenhaus W.       angekündigt, falls die Antragstellerin nach einer eventuell dort stattfindenden Entbindung vorzeitig und ohne Absprache mit ihrem Kind das Krankenhaus verlassen will. Ob ein entsprechendes Vorgehen ohne weitere Ermittlungen rechtmäßig gewesen wäre, ist bei der nach Erledigung nur noch gebotenen summarischen Prüfung nicht offensichtlich oder mit weit überwiegender Wahrscheinlichkeit anzunehmen.

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Dieser Beschluss ist insgesamt nach § 152 Abs. 1 VwGO unanfechtbar.