Gründe:

I.

Eine Darstellung der tatsächlichen Feststellungen ist nach § 540 Abs. 2, 313a Abs. 1 S. 1, 522 Abs. 3, 544 Abs. 2 Nr. 1 ZPO entbehrlich.

II.

1. Die zulässige Berufung der Verfügungsbeklagten ist nach einstimmiger Auffassung des Senats offensichtlich unbegründet. Da eine mündliche Verhandlung auch aus sonstigen Gründen nicht veranlasst ist und die übrigen Voraussetzungen des § 522 Abs. 2 S. 1 ZPO - so es auf diese angesichts des hier vorliegenden einstweiligen Verfügungsverfahrens überhaupt ankommt - erfüllt sind, liegen die Voraussetzungen für eine Beschlusszurückweisung nach § 522 Abs. 2 ZPO vor, wie mit Beschluss des Senats vom 7. Juli 2025 ausgeführt, auf den zur Meidung von unnötigen Wiederholungen Bezug genommen wird.

Der weitere Vortrag der Verfügungsbeklagten im Schriftsatz vom 29. Juli 2025 (Bl. 292 ff. des Senatshefts) trägt selbst dann keine andere Bewertung, wenn er als wahr unterstellt wird.

a) Der Senat bleibt auch unter Würdigung der - unterstellten - zwischenzeitlichen Aufnahme verschiedener Varianten des Namens des Verfügungsklägers in eine Blacklist, die automatisiert einen hochgeladenen Beitrag mit entsprechendem Inhalt binnen höchstens 10 Sekunden depubliziert und der Prüfung durch einen Community Manager zuführt, bei der Annahme eines Verfügungsgrundes. Bei der im Einzelfall anzustellenden Interessenabwägung ist es dem Verfügungskläger - wie in dem o.g. Beschluss näher ausgeführt - angesichts der Schwere der erhobenen Vorwürfe nicht zumutbar, auf eine Entscheidung in einem Hauptsacheverfahren zuzuwarten. Insbesondere kann er nicht auf freiwillige Maßnahmen der Verfügungsbeklagten, die diese jederzeit wieder rückgängig machen könnte, verwiesen werden. Hierzu gehört die beschriebene Aufnahme des Namens in eine Blacklist. Zudem vermag die Funktionsweise der Blacklist eine erneute kernbereichsgleiche Veröffentlichung auch nicht zu verhindern. Wenngleich eine Umgehung der Funktion der Blacklist dadurch erschwert wird, dass die gelisteten Namensvarianten nicht öffentlich bekannt sind, sind zahlreiche Möglichkeiten denkbar, den Verfügungskläger in anderer Weise als durch Nennung seines Namens identifizierbar zu machen. So wäre es etwa eine naheliegende Umgehungstrategie, die Vorwürfe ohne Nennung des Namens aber unter bloßer Amtsbezeichnung oder unter Hinweis auf das angestrebte Bürgermeisteramt in A. erneut zu publizieren. Dagegen würde die Blacklist keinen Schutz bieten.

b) Es bleibt auch bei der Annahme eines Verfügungsanspruchs. Die - unterstellte - Aufnahme des Namens des Verfügungsklägers in den vorgetragenen Varianten in eine sog. Blacklist schließt eine Wiederholungsgefahr nicht mit hinreichender Sicherheit aus. Wird eine Unterlassungserklärung nicht abgegeben, ist erforderlich, dass eine Wiederholung (nahezu) ausgeschlossen ist (vgl. Staudinger/Thole, BGB, 2023, § 1004 Rn. 463). Dies ist - wie dargelegt - durch die Blacklist nicht gewährleistet.

2. Die Kostenentscheidung basiert auf § 97 Abs. 1 ZPO.

Streitwert für das Berufungsverfahren: 20.000,00 EUR