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Gründe:

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Die zulässige Beschwerde (§§ 57 Abs. 1 S. 2 Nr. 4, 58 Abs. 1, 63 Abs. 2 Nr. 1, Abs. 3 FamFG) des Antragsgegners ist nicht begründet. Das Amtsgericht hat zu Recht die einstweilige Anordnung erlassen, weil ein Anordnungsgrund hinreichend glaubhaft gemacht worden ist.

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Im Verfahren der einstweiligen Anordnung hat die Antragstellerin gemäß § 51 Abs. 1 Satz 2 FamFG die Voraussetzungen für die begehrte Anordnung glaubhaft zu machen. Wer eine tatsächliche Behauptung glaubhaft zu machen hat, kann sich aller Beweismittel bedienen, auch zur Versicherung an Eides statt zugelassen werden, § 31 Abs. 1 FamFG. Eine Glaubhaftmachung kann erschüttert werden, indem substantiierte Einwendungen erhoben und durch sofort verfügbare Beweismittel glaubhaft gemacht werden, sog. Gegenglaubhaftmachung (OLG Köln, Beschl. v. 29.12.1999 - 2 W 188/99, NJW-RR 2000, 427 (429); OLG Brandenburg, Beschl. v. 14.07.2015 - 10 UF 53/15, unveröffentlicht), wozu auch der andere Beteiligte sich auf die Glaubhaftmachung als Art der Beweisführung beschränken kann (Keidel-Sternal, 20. Aufl. (2020), § 31, Rn. 10). Hierbei gelten, gerade wenn es um Glaubhaftmachung und Gegenglaubhaftmachung geht, trotz des Amtsermittlungsgrundsatzes, § 26 FamFG, die Regeln der Darlegungs- und Beweislast (vgl. OLG Brandenburg, Beschl. v. 14.07.2015 - 10 UF 53/15, unveröffentlicht).

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Zur im einstweiligen Anordnungsverfahren ausreichenden Glaubhaftmachung einer Tatsachenbehauptung - auch im Sinne von §§ 51 Abs. 1 S. 2, 31 FamFG - bedarf es zwar nicht der vollen gerichtlichen Überzeugung; es genügt nach allgemeinem Verständnis ein geringerer Grad der richterlichen Überzeugungsbildung, der bereits vorliegt, sofern bei freier Würdigung des gesamten Verfahrensstoffes eine überwiegende Wahrscheinlichkeit dafür besteht, dass sie zutrifft (BGH, Beschl. v. 21.12.2006 - IX ZB 60/06, NJW-RR 2007, 776; OLG Naumburg, Beschl. v. 01.08.2014 - 8 UF 121/14, FamRZ 2015, 1225).

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An diesem Maßstab gemessen ist das Amtsgericht zu Recht von einer hinreichenden Glaubhaftmachung ausgegangen. Die Antragstellerin hat eine eidesstattliche Versicherung abgegeben. Ihr Vortrag wird durch die Dokumentation der polizeilichen Einsätze (die als solche vom Antragsgegner nicht bestritten werden, Bl. 54 d.A.) und die im Arztbrief vom 21.01.2020 geschilderten Verletzungen gestützt und ist mit Blick auf die vorangegangenen, auch gerichtlich ausgetragenen, Schwierigkeiten der Beteiligten auf der Paarebene nicht unwahrscheinlich; zu Recht hat insoweit das Amtsgericht auf die jedenfalls indiziell verwertbare Aussage des Zeugen A verwiesen, der nicht nur eheliche Konflikte der Beteiligten, sondern zudem noch Drohungen (auch) gegen sich hat bekunden können. Diese Glaubhaftmachung hat der Antragsgegner nicht hinreichend erschüttert. Auf die insoweit nicht ergänzungsbedürftigen Ausführungen des Amtsgerichts wird insoweit zur Vermeidung von Wiederholungen verwiesen.

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Soweit sich die Beschwerde – maßgebend – auf das Argument fehlender Dringlichkeit stützt, geht dies fehl. Zwar ist zutreffend, dass die Dringlichkeit, die Voraussetzung für den Erlass einer einstweiligen Anordnung ist, entfallen kann, wenn der nicht durch eine gerichtliche Regelung geschützte Antragsteller zu lange mit der Rechtsverfolgung zuwartet und solcherart erkennen lässt, dass das Verfahren „ihm nicht eilig“ ist (vgl. OLG Hamburg, Beschl. v. 20.102.20 – 12 WF 125/20, unveröffentlicht).

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Nach § 214 Abs. 1 S. 2 FamFG liegt indes ein dringendes Bedürfnis für ein sofortiges Tätigwerden in Gestalt einer einstweiligen Regelung in der Regel vor, wenn – wie vorliegend ausreichend glaubhaft gemacht – eine Tat nach 1 GewSchG begangen wurde. Die Dringlichkeit ist dann indiziert, die Vermutung kann allerdings entkräftet werden (Zöller-Lorenz, ZPO, 33. Aufl. (2020), § 214 FamFG, Rn. 3). Diese Entkräftung ist dem Antragsgegner aber nicht gelungen, da dieser seine Behauptung einer seit März bestehenden Untätigkeit nicht hat nachweisen können.

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Die Antragstellerin hat - neben den Polizeieinsätzen - schon in der Antragsschrift maßgebend behauptet und glaubhaft gemacht, dass der Antragsgegner ihr nachstelle, auflauere und sich seit dem 04.09.2020 – also in dringlichkeitsunschädlicher Zeit – vermehrt im Umfeld ihrer, der Antragstellerin, Wohnung aufhalte (Bl. 3, 38 d.A.); sie hat zudem eine Morddrohung des Antragsgegners gegen sie und den Zeugen A glaubhaft gemacht (eidestattliche Versicherung vom 21.09.2020, Bl. 26 d.A.), die aus September 2020 datiert. Somit hat sie weitere tatbestandliche Handlungen i.S.d. § 1 Abs. 2 Nr. 1, 2b GewSchG glaubhaft gemacht. Dem ist der Antragsgegner lediglich pauschal durch eine eidesstattliche Versicherung entgegengetreten, in welcher er die Behauptungen schlicht bestritten hat (Bl. 54 d.A.). Ob dies für eine taugliche Gegenglaubhaftmachung überhaupt hinreicht, kann der Senat offen lassen; auch im Fall eines non liquet wäre ihm der Nachweis, dass es nach dem 11.03.2020 keinerlei Tathandlungen mehr gegeben habe, und damit die Entkräftung der Dringlichkeitsvermutung des § 214 Abs. 1 S. 2 FamFG nicht gelungen.

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Die Kostenentscheidung folgt aus § 84 FamFG, der Verfahrenswert für das Beschwerdeverfahren aus §§ 40 Abs. 1 S. 1, 41, 49 Abs. 1 1. Var. FamGKG.