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Gründe:

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I.

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Die Beschwerde ist nach §§ 57 S. 2, 58 ff. FamFG zulässig, hat in der Sache jedoch keinen Erfolg. Die Kostenentscheidung des Amtsgerichts, mit der es die Kosten des einstweiligen Anordnungsverfahrens in der vorliegenden Gewaltschutzsache den Beteiligten jeweils zur Hälfte auferlegt hat, ist nicht zu beanstanden. Eine Überprüfung ist ohnehin nur auf die Frage beschränkt, ob das erstinstanzliche Gericht sein Ermessen fehlerfrei ausgeübt hat. Anhaltspunkte dafür, dass das Amtsgericht dies nicht getan hat, sind nicht ersichtlich.

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Dabei hat der Senat darauf abgestellt, dass die von der Antragstellerin beantragten und vom Amtsgericht ursprünglich nach § 1 GewSchG gegen den Antragsgegner verhängten Schutzmaßnahmen nur teilweise aufrechtzuerhalten gewesen wären.

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1.

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Nach §§ 214 Abs. 1, 49 Abs. 1 FamFG kann durch einstweilige Anordnung eine vorläufige Maßnahme getroffen werden, soweit dies nach den für das Rechtsverhältnis maßgebenden Vorschriften gerechtfertigt ist und ein dringendes Bedürfnis für ein sofortiges Tätigwerden besteht. Ein dringendes Regelungsbedürfnis ist anzunehmen, wenn ein Abwarten bis zur endgültigen Entscheidung nicht möglich ist, weil diese zu spät kommen würde, um die zu schützenden Interessen zu wahren bzw. wenn ein Zuwarten bis zur Entscheidung in der Hauptsache mit dem Eintritt erheblicher Nachteile verbunden wäre (vgl. Keidel/Giers, FamFG, 19. Auflage 2017, § 49 Rn. 13; Zöller/Feskorn, ZPO, 33. Auflage, 2020, § 49 FamFG Rn. 8). Es liegt in der Regel insbesondere dann vor, wenn eine Tat nach § 1 GewSchG begangen wurde oder aufgrund konkreter Umstände mit einer Begehung zu rechnen ist (§ 214 Abs. 1 Satz 2 FamFG).

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§ 51 Abs. 1 Satz 2 FamFG sieht vor, dass der Antragsteller den Antrag zu begründen und die Voraussetzungen für die Anordnung glaubhaft zu machen hat. Zur ausreichenden Glaubhaftmachung einer Tatsachenbehauptung (§ 31 FamFG) bedarf es nicht der vollen gerichtlichen Überzeugung, sondern es genügt ein geringerer Grad der richterlichen Überzeugungsbildung, der bereits vorliegt, sofern bei freier Würdigung des gesamten Verfahrensstoffes eine überwiegende Wahrscheinlichkeit dafür besteht, dass sie zutrifft (Keidel/Giers, a.a.O., § 51 Rn. 6 m.w.N.).

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2.

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Nach diesen Maßstäben hat das Amtsgericht die Voraussetzungen für die Aufrechterhaltung der einstweiligen Anordnung zwar zutreffend angenommen. Denn es stand fest, dass der Antragsgegner zu der Antragstellerin gegen ihren mehrfach ausdrücklich erklärten Willen weiter Verbindung aufgenommen hat, zunächst durch die E-Mail vom 06.03.2020 sowie sodann durch den Brief vom 30.03.2020. Der Brief stellte - ungeachtet von dessen Inhalt - eine Kontaktaufnahme i.S.d. § 1 Abs. 2 Nr. 2 b GewSchG dar. Dasselbe gilt für die E-Mail vom 06.03.2020. Insoweit konnte sich der Antragsgegner auch nicht mit Erfolg darauf berufen, er habe angenommen, dass die zuvor erhaltene E-Mail von der Antragstellerin stamme. Denn aufgrund des Inhalts dieser E-Mail ("Du bist das Letzte") konnte der Antragsgegner bei verständiger Würdigung keinesfalls davon ausgehen, dass die Antragstellerin wieder mit ihm in Kontakt treten wollte. Damit lag ein Regelungsbedürfnis i.S.d. 214 Abs. 1 Satz 2 FamFG vor. Dass im Zeitpunkt der Entscheidung am 04.08.2020 seitdem drei Monate vergangen waren, ohne dass die Antragstellerin eine weitere Belästigung durch eine Verbindungsaufnahme i.S.d. § 1 Abs. 2  Nr. 2 b GewSchG hinreichend glaubhaft machen konnte, steht dem nicht entgegen. Ein solcher Zeitraum reicht für die Annahme, dass mit einer weiteren Tatbegehung nicht mehr zu rechnen ist, regelmäßig noch nicht aus.

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3.

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Die beantragten und im angefochtenen Beschluss angeordneten Verbote waren allerdings nicht sämtlich zur Abwendung weiterer Verletzungen erforderlich (§ 1 Abs. 1 Satz 1 GewSchG).

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Unterlassungsanordnungen müssen zur Abwendung weiterer Verletzungen geeignet und erforderlich sowie verhältnismäßig sein (vgl. OLG Karlsruhe, Beschluss vom 10. April 2019 – 5 UF 46/19 –, juris Rn. 27). Die Antragstellerin hat keinen Sachverhalt geschildert, der den Tatbestand einer Tat nach § 1 Abs. 1, Abs. 2 Nr. 1 GewSchG verwirklichen würde. Für das Verbot, die Antragstellerin zu bedrohen, zu verletzten oder sonst körperlich zu misshandeln, bestand daher kein Anlass.

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Dasselbe gilt für die vorgenommene - nicht näher begründete - Befristung bis zum 04.02.2021, mit der das Amtsgericht die ursprüngliche Befristung in der Anordnung vom 27.05.2020 über den 26.11.2020 hinaus verlängert hat. Auch insofern ist kein Grund ersichtlich.

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II.

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Die Kostenentscheidung für das Beschwerdeverfahren beruht auf § 84 FamFG. Die Festsetzung des Beschwerdewerts orientiert sich am Kosteninteresse, das die Antragsstellerin mit ihrem Rechtsmittel verfolgt.